[6064]카잉 달력

문제

최근에 ICPC 탐사대는 남아메리카의 잉카 제국이 놀라운 문명을 지닌 카잉 제국을 토대로 하여 세워졌다는 사실을 발견했다. 카잉 제국의 백성들은 특이한 달력을 사용한 것으로 알려져 있다. 그들은 M과 N보다 작거나 같은 두 개의 자연수 x, y를 가지고 각 년도를 와 같은 형식으로 표현하였다. 그들은 이 세상의 시초에 해당하는 첫 번째 해를 <1:1>로 표현하고, 두 번째 해를 <2:2>로 표현하였다. 의 다음 해를 표현한 것을 <x':y'>이라고 하자. 만일 x < M 이면 x' = x + 1이고, 그렇지 않으면 x' = 1이다. 같은 방식으로 만일 y < N이면 y' = y + 1이고, 그렇지 않으면 y' = 1이다. 은 그들 달력의 마지막 해로서, 이 해에 세상의 종말이 도래한다는 예언이 전해 온다.

예를 들어, M = 10 이고 N = 12라고 하자. 첫 번째 해는 <1:1>로 표현되고, 11번째 해는 <1:11>로 표현된다. <3:1>은 13번째 해를 나타내고, <10:12>는 마지막인 60번째 해를 나타낸다.

네 개의 정수 M, N, x와 y가 주어질 때, 이 카잉 달력의 마지막 해라고 하면 는 몇 번째 해를 나타내는지 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력 데이터는 표준 입력을 사용한다. 입력은 T개의 테스트 데이터로 구성된다. 입력의 첫 번째 줄에는 입력 데이터의 수를 나타내는 정수 T가 주어진다. 각 테스트 데이터는 한 줄로 구성된다. 각 줄에는 네 개의 정수 M, N, x와 y가 주어진다. (1 ≤ M, N ≤ 40,000, 1 ≤ x ≤ M, 1 ≤ y ≤ N) 여기서 은 카잉 달력의 마지막 해를 나타낸다.

출력
출력은 표준 출력을 사용한다. 각 테스트 데이터에 대해, 정수 k를 한 줄에 출력한다. 여기서 k는 가 k번째 해를 나타내는 것을 의미한다. 만일 에 의해 표현되는 해가 없다면, 즉, 가 유효하지 않은 표현이면, -1을 출력한다.

예제 입력 1

3
10 12 3 9
10 12 7 2
13 11 5 6

예제 출력 1
33
-1
83

시간 초과 풀이

모든 경우의 수를 다 해보면 M과 N이 클 때 시간 초과가 나온다.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;

int t;
int a, b, x, y;

int gcd(int x, int y) {
	if (y == 0) {
		return x;
	}
	else {
		return gcd(y, x%y);
	}
}

int lcd(int x, int y) {
	return x * y / gcd(x, y);
}

int main()
{
	cin >> t;
	int one = 0;
	int two = 0;
	bool flag = false;
	for (int i = 0; i < t; i++) {
		cin >> a >> b >> x >> y;
		one = lcd(a, b);
		two = one + 1;
		for (int i = 0; x + 10 * i <= one; i++) {
			for (int j = 0; y + b * j <= one; j++) {
				if ((x + a * i) == (y + b * j)) {
					if ((x + a * i) < two) {
						two = x + a * i;
						cout << two << endl;
						flag = true;
						break;
					}
				}
			}
			if (flag) {
				flag = false;
				break;
			}
		}
		if (two == one + 1) {
			cout << "-1\n";
		}
	}
	return 0;
}

정답 풀이

아래의 사항을 주의합니다.

1. n,m,x를 사용해서 y를 구하는 방법을 생각한다.
2. a%b 연산을 진행할 때, a의 숫자가 되도록 작은 숫자인 경우가 실행 시간이 짧다.
3. 적어도 최소, 최대의 값은 테스트로 넣어본다.

아래와 같은 아이디어를 사용합니다.

먼저 x를 고정시킵니다. 그리고 y의 값은 (x + n * idx)%m으로 결정됩니다. 이때 idx의 범위는 0부터 m까지입니다. y를 구하는 식에서 n을 idx번 더하는데 n를 최대 m번 더한 n*m이상의 값은 더할 필요가 없기 때문입니다.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int t;
ll n, m, x, y;

ll gcd(ll x, ll y) {
	if (y == 0) {
		return x;
	}
	else {
		return gcd(y, x%y);
	}
}

ll lcd(ll x, ll y) {
	return x * y / gcd(x, y);
}

int main()
{
	ll ty = 0;
	ll ans = 0;
	int idx = 0;
	cin >> t;
	for (int i = 0; i < t; i++) {
		cin >> n >> m >> x >> y;
		ty = x;
		for ( idx = 0; idx <= m; idx++) {
			ty %= m;
			if (ty == 0) {
				if (m == y) {
					break;
				}
			}
			if (ty == y) {
				break;
			}
			ty += n;
		}
		ans = x + n * idx;
		cout << (lcd(n,m) >= ans ? ans : -1) << endl;
	}
	return 0;
}